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Artigos publicados

1. N. Martins, P. G. Mattos, R. Varão. Folding and Metric Entropies for Extended Shifts. Journal of Dynamics and Differential Equations, 2026.  
   abs bib
   In this paper we calculate the metric and folding entropies for a family of non-invertible symbolic dynamical systems $(\Sigma_{m_-,m_+}, \sigma_\phi)$ which generalizes the standard bilateral Bernoulli shifts. The space $\Sigma_{m_-,m_+}$ consists of symbolic sequences over two distinct finite alphabets, with dynamics governed by a shift map $\sigma_\phi$ incorporating a non-invertible function $\phi$ that maps one of the alphabets to the other one. These systems are, for instance, particularly useful for encoding the many-to-one baker's transformation endomorphisms, and they can also be seen as a skew product with a unilateral Bernoulli shift on the base.

2. R. D. Euzébio, P. G. Mattos, R. Varão. Characterization of Non-deterministic Chaos in Two-dimensional Non-smooth Vector Fields. Differential Equations and Dynamical Systems, 2025.  
   abs bib
   Our context is Filippov systems defined on two-dimensional manifolds having a finite number of tangency points. We prove that topological transitivity is a necessary and sufficient condition for the occurrence of non-deterministic chaos when the Filippov system has non-empty sliding or escaping regions. A fundamental result for continuous flows is the equivalence of topological transitivity and existence of a dense orbit. We prove in our setting that topological transitivity for Filippov systems is indeed equivalent to the existence of a dense Filippov orbit, although, in contrast to the continuous case, we are not able to guarantee that the dense orbit implies the existence of a residual set of dense orbits. Finally, we prove that, in this context, topological transitivity implies strictly positive topological entropy for the Filippov system. This calculation is made using techniques similar to those from symbolic dynamics.

Pré-publicações

1. O. M. L. Gomide, P. G. Mattos, R. Varão. The Orbit Space Approach for Piecewise Smooth Vector Fields. 2026.  
   abs bib
   In this work we develop a well-defined theory of orbit spaces for piecewise smooth vector fields (PSVFs). This approach is inspired by the techniques already used in the study of endomorphisms, namely inverse limit analysis, and has been used before for PSVFs. We then apply the construction of our theory to understanding transitivity in PSVFs. Our results prove that the known examples of transitive PSVFs in the literature, the bean model and the sphere model, are indeed transitive in the orbit space.

Publicações em outras áreas

1. P. G. Mattos, F. A. M. Mattos. Hiperconcentração da renda e da riqueza: como medir e por que é importante ampliar a discussão além do aspecto econômico. Revista Simetria, 2023.  
   abs bib
   O artigo propõe uma discussão interdisciplinar e multidimensional da desigualdade, destacando a necessidade de unir análise qualitativa da crescente desigualdade econômica que vem ocorrendo nos países desenvolvidos com uma análise dos desdobramentos dessa desigualdade econômica sobre outras formas de manifestação de desigualdades, como a desigualdade social, ambiental, urbana entre outras. Na última seção é incorporada uma discussão sobre Urbanismo e as formas de disputa em torno dos espaços das cidades e do orçamento público.

Projetos

Caos Não-Determinístico em Sistemas Dinâmicos Suaves por Partes

Um campo vetorial suave por partes é um campo vetorial que varia suavemente fora de uma hipersuperfície de descontinuidade $\Sigma$, mas muda descontinuamente ao atravessá-la. Segundo a convenção de Filippov, as soluções podem “deslizar” ao longo de $\Sigma$, o que gera não-unicidade de soluções — o sistema é dito não-determinístico. Essa não-unicidade impede o uso de um fluxo contínuo para descrever a dinâmica, e portanto ferramentas clássicas da teoria ergódica e da dinâmica simbólica não podem ser aplicadas diretamente.

A abordagem central desta linha de pesquisa é o espaço de órbitas: ao sistema não-determinístico $(M, F)$ associa-se um espaço $\tilde{M}$ cujos pontos são as órbitas maximais do sistema, munido de uma métrica e de um fluxo contínuo $\tilde{\Phi}$. O sistema $(\tilde{M}, \tilde{\Phi})$ é determinístico, o que permite o uso de ferramentas clássicas. Os principais resultados obtidos mostram que transitividade topológica e caoticidade não-determinística no espaço base $M$ se relacionam com as propriedades análogas no espaço de órbitas $\tilde{M}$, e que sistemas suaves por partes bidimensionais transitivos têm entropia topológica estritamente positiva.

Os problemas em aberto incluem a caracterização completa da equivalência entre transitividade em $M$ e em $\tilde{M}$, a generalização desses resultados para dimensões maiores (em especial usando a classificação de T-singularidades dobra-dobra), e o estudo de mistura topológica e medidas invariantes no espaço de órbitas.

Entropia em Deslocamentos Simbólicos Estendidos

Os deslocamentos de Bernoulli são modelos prototípicos para comportamento caótico em sistemas dinâmicos. Esta linha de pesquisa estuda uma generalização: os deslocamentos $(m_-, m_+)$-estendidos, que codificam sistemas não-invertíveis usando dois alfabetos distintos. Dado um alfabeto de trás com $m_-$ símbolos e um da frente com $m_+$ símbolos, e uma função de transição sobrejetiva $\phi$, define-se uma dinâmica $\sigma_\phi$ que generaliza o deslocamento bilateral de Bernoulli (recuperado quando $m_- = m_+$).

Os principais resultados obtidos calculam explicitamente a entropia métrica e a entropia de dobra (“folding entropy”) de $\sigma_\phi$ em função das distribuições de probabilidade sobre os dois alfabetos. Em particular, a entropia métrica não depende da função de transição $\phi$, e a entropia de dobra mede a não-invertibilidade do sistema — sendo zero exatamente no caso invertível. Esses sistemas são especialmente úteis para codificar endomorfismos do tipo baker não-invertíveis e para representar a dinâmica não-determinística de sistemas de Filippov.

Eventos

Palestras

• 2026   International Mathematics Days V, UFV, Folding and Metric Entropies for Extended Shifts 
• 2025   Afternoon's Entropy at ICMC, ICMC, USP, Folding and Metric Entropies for Extended Shifts 
• 2024   XIII Workshop on Dynamical Systems (MAT80), IMECC, Unicamp, Entropy and Non-Deterministic Chaos for Piecewise Smooth Vector Fields 
• 2022   I Encontro Paulista da Pós-Graduação em Matemáticas, Entropia em Sistemas Dinâmicos 
• 2016   DivulgaMat, IMECC, Unicamp, Um problema relacionado à rotação do círculo

Pôsteres

• 2024   International Mathematics Days IV, UFV, Folding Entropy of the Zip Shift Map
• 2024   DinAmicI in Rio, IMPA, Entropy and Non-Deterministic Chaos for Piecewise Smooth Vector Fields 
• 2023   VII Escola Brasileira de Sistemas Dinâmicos, UFC, The Orbit Space Approach for Piecewise Smooth Vector Fields
• 2023   XII Workshop on Dynamical Systems, IBILCE, Unesp, The Orbit Space Approach for Piecewise Smooth Vector Fields
• 2019   V Escola Brasileira de Sistemas Dinâmicos, UFMG, Unicidade Ergódica de Folheações Horocíclicas
• 2018   São Paulo Dynamical Systems Days, ICMC, USP, Introdução à Teoria Ergódica
• 2016   XXIV Congresso de Iniciação Científica da Unicamp, Unicamp, Dinâmica Simbólica: uma Introdução via Exemplos Hiperbólicos

Grupos

• Grupo de Trabalho de Dinâmica IMECC–Unicamp
  • (2026–) https://www.ime.unicamp.br/~regisvarao/grupo-de-trabalho/
  • (2024–25) https://daniel.mat.br/pt-br/gdt/
• Rede TeQA de Sistemas Dinâmicos
  • https://teqa.ime.unicamp.br/

Pesquisadores

Aqui listo alguns dos meus colegas e colaboradores e suas páginas pessoais, por ordem de quando os conheci.

Colaboradores

• Régis Varão
• Otávio Gomide
• Neemias Martins
• Rodrigo Euzébio

Colegas

• Pedro Campos
• Matheus Manzatto
• Ygor de Jesus
• Daniel Gomes
• Douglas Finamore
• Matheus Cunha